2008年前期 静岡大学 3

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2
Dept. :
教育学部,理学部(生物学科/地球科学科),農学部
座標平面上の原点を O とし, 2本の半直線 OX, OY のなす角を bunsuu{pi}{3} とする。 この角の二等分線上の点 P を中心とし, 半径1の円が, 半直線 OX とは2点 A_1, A_2 で交わり, 半直線 OY とは2点 B_1, B_2 で交わるとする。 ただし, 0<OA_1=OB_1<OA_2=OB_2 とする。 beku{a}bekutoru{OA_1} と同じ向きの単位ベクトルとし, 実数 t_1, t_2 を用いて bekutoru{OA_1}=t_1beku{a}, bekutoru{OA_2}=t_2beku{a} と表す。 beku{b}bekutoru{OB_1} と同じ向きの単位ベクトルとする。 OP=x (1<x<2) として, 次の問いに答えよ。
(1)
bekutoru{OP}=alpha(beku{a}+beku{b}) を満たす alphax を用いて表せ。
(2)
t_1+t_2 および t_1t_2 をそれぞれ x を用いて表せ。
(3)
線分 A_1B_2 の長さを求めよ。
(4)
線分 A_1B_2A_2B_1 の交点を Q とするとき, bekutoru{OQ}=bunsuu{t_1t_2}{t_1+t_2}(beku{a}+beku{b}) を示せ。
ヒント
(1)
zettaiti{bekutoru{OP}}=x
(2)
bekutoru{OA}=t beku{a} とすると, t_1, t_2zettaiti{bekutoru{PA}}=1 の2解である.
(3)
bekutoru{A_1B_2}=t_2beku{b}-t_1beku{a}
(4)
QA_1B_2 上にも A_2B_1 上にもあることを示す.
解答
(1)
absvec{a}=absvec{b}=1,naiseki{a}{b}=absvec{a}absvec{b}cos bunsuu{pi}{3}=bunsuu12
図1
absvec{OP}^2 =zettaiti{alpha(beku{a}+beku{b})}^2
=alpha^2(absvec{a}^2+2naiseki{a}{b}+absvec{b}^2)
=3alpha^2
absvec{OP}=x より,
3alpha^2=x^2
alpha>0, x>0 より,
alpha=bunsuu{sqrt3}{3}x
(2)
bekutoru{OA}=t beku{a} とすると,
bekutoru{PA}=bekutoru{OA}-bekutoru{OP}=(t-alpha)beku{a}-alpha beku{b}
absvec{PA}=1 のとき,
zettaiti{(t-alpha)beku{a}-alpha beku{b}}^2=1
t^2-3alpha t+3alpha^2-1=0
t^2-sqrt3xt+x^2-1=0
absvec{PA_1}=absvec{PA_2}=1 より t_1, t_2 はこの方程式の2解であるから,
t_1+t_2=sqrt3x,t_1t_2=x^2-1
(3)
対称性より, bekutoru{OB_2}=t_2beku{b} であるから,
bekutoru{A_1B_2} =t_2beku{b}-t_1beku{a}
absvec{A_1B_2}^2 =zettaiti{t_2beku{b}-t_1beku{a}}^2
=(t_1+t_2)^2-3t_1t_2
=3
よって,
absvec{A_1B_2}=sqrt3
(4)
QA_1B_2 上の点であるから, m (0<m<1) を用いて,
bekutoru{OQ} =m bekutoru{OA_1}+(1-m)bekutoru{OB_2}
=mt_1beku{a}+(1-m)t_2beku{b}
と表せる. また, QA_2B_1 上の点であるから, n (0<n<1) を用いて,
bekutoru{OQ} =n bekutoru{OA_2}+(1-n)bekutoru{OB_1}
=nt_2beku{a}+(1-n)t_1beku{b}
と表せる.
beku{a}, beku{b} は一次独立であるから,
mt_1=nt_2,(1-m)t_2=(1-n)t_1
m=bunsuu{t_2}{t_1+t_2},n=bunsuu{t_1}{t_1+t_2}
よって,
bekutoru{OQ}=bunsuu{t_1t_2}{t_1+t_2}(beku{a}+beku{b})
別解
(4)
bekutoru{OR}=bunsuu{t_1t_2}{t_1+t_2}(beku{a}+beku{b}) とすると,
bekutoru{OR} =bunsuu{t_2}{t_1+t_2}bekutoru{OA_1}+bunsuu{t_1}{t_1+t_2}bekutoru{OB_2}
bekutoru{OR} =bunsuu{t_1}{t_1+t_2}bekutoru{OA_2}+bunsuu{t_2}{t_1+t_2}bekutoru{OB_1}
bunsuu{t_1}{t_1+t_2}+bunsuu{t_2}{t_1+t_2}=1 より, RA_1B_2, A_2B_1 上の点であるから, Q に他ならない.
ゆえに,
bekutoru{OQ}=bunsuu{t_1t_2}{t_1+t_2}(beku{a}+beku{b})

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