2008年前期 静岡大学 4

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3
Dept. :
教育学部,理学部(生物学科/地球科学科/物理学科),農学部
a, n を自然数とし, a geqq2, n geqq2 とする。次の問いに答えよ。
(1)
log_a2 が正の有理数になるとき, a の約数で素数となるものを求めよ。
(2)
次の和を求めよ。
bunsuu{1}{1cdot2}+bunsuu{1}{2cdot3}+cdots+bunsuu{1}{(n-1)cdot n}
(3)
S(a)
S(a)=a^{frac{1}{1cdot2}}a^{frac{1}{2cdot3}}cdots a^{frac{1}{(n-1)cdot n}}
とする。S(a)=16 となる a の値をすべて求めよ。
ヒント
(1)
有理数は互いに素な整数 p, q を用いて bunsuu{q}{p} と表せる.
(2)
各項を部分分数に分解する.
(3)
(2) を用いて S(a)=16 を整理し, (1) を利用する.
解答
(1)
log_a2 が正の有理数であるから, 互いに素な自然数 p, q を用いて,
log_a2=bunsuu{q}{p}
と表せる. これより,
2 =a^{frac{q}{p}}
2^p =a^q
a, p, q は自然数であるから, 自然数 k を用いて a=2^k と表せる.
よって, a=2^k の約数で素数となるものは2である.
(2)
bunsuu{1}{1cdot2}+bunsuu{1}{2cdot3}+cdots+bunsuu{1}{(n-1)cdot n}
=(bunsuu12-bunsuu11)+(bunsuu13-bunsuu12)+cdots+(bunsuu{1}{n}-bunsuu{1}{n-1})
=bunsuu{1-n}{n}
(3)
(2) より,
S(a)=a^{frac{1}{1cdot2}+frac{1}{2cdot3}+cdots+frac{1}{(n-1)cdot n}}=a^{frac{1-n}{n}}
S(a)=16 となるとき,
a^{frac{1-n}{n}} =2^4
bunsuu{1-n}{n} =4log_a2
log_a2 =bunsuu{1-n}{4n}
n は2以上の自然数であるから, bunsuu{1-n}{4n} は正の有理数である.
よって, (1) より, 自然数 k を用いて a=2^k と表せる.
一方, a^{frac{1-n}{n}}=2^4 より a=2^{frac{4n}{n-1}} であるから, bunsuu{4n}{n-1}=4+bunsuu{4}{n-1} は自然数である.
ゆえに,
n-1 =1,2,4
n =2,3,5
a =32,64,256

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