2008年前期 静岡大学 5

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3
Dept. :
理学部(物理学科,/化学科/数学科),情報学部,工学部
a, b を定数とし, 2次方程式 x^2+ax+b=0 は実数解 alpha, beta (alpha<beta) をもつとする。 次の問いに答えよ。
(1)
次の等式を証明せよ。
dint{alpha}{beta}(x^2+ax+b)dx=-bunsuu{(beta-alpha)^3}{6}
(2)
a, b を有理数とし, beta が自然数 n を用いて beta=n+sqrt3 と表されているとする。
(i)
b>0 となるための n が満たす条件を求めよ。
(ii)
b>0 とする。区間 0leqq x leqq alpha において曲線 y=x^2+ax+bx 軸とではさまれた図形の面積を S_1 とする。曲線 y=ax^2+bx+cx 軸で囲まれた図形の面積を S_2 とする。 2S_1=S_2 となる n の値を求めよ。
ヒント
(1)
解と係数の関係から, a, b を消去する.
(2)
(i)
p, q が有理数のとき, p+q sqrt3=0 ならば, p=0, q=0 である.
(ii)
a, b, alpha, beta を消去して n のみの式にする.
解答
(1)
解と係数の関係より, alpha+beta=-a, alpha beta=b であるから,
dint{alpha}{beta}(x^2+ax+b)dx =dint{alpha}{beta}{x^2-(alpha+beta)x+alpha beta}dx
=dint{alpha}{beta}{(x-alpha)^2-(beta-alpha)(x-alpha)}dx
=teisekibun{bunsuu{(x-alpha)^3}{3}-(beta-alpha)bunsuu{(x-alpha)^2}{2}}{alpha}{beta}
=bunsuu{(beta-alpha)^3}{3}-(beta-alpha)bunsuu{(beta-alpha)^2}{2}
=-bunsuu{(beta-alpha)^3}{6}
(2)
(i)
x^2+ax+b=0x=n+sqrt{3} を解にもつから,
(n+sqrt3)^2+a(n+sqrt3)+b=0
n^2+an+b+3+(a+2n)sqrt3=0
a, b は有理数, n は自然数であるから,
n^2+an+b+3=0,a+2n=0
a=-2n,b=n^2-3
b>0 となるためには
n^2-3>0
n>sqrt3
n は自然数であるから, n が満たす条件は n geqq2
(ii)
alpha=n-sqrt3, beta=n+sqrt3, a=-2n, b=n^2-3 より,
図1
S_1 =dint{0}{alpha}(x^2-2nx+n^2-3)dx
=bunsuu13(n^3-9n+6sqrt3)
S_2 =dint{alpha}{beta}-(x-alpha)(x-beta)dx
=bunsuu16(beta-alpha)^3
=4sqrt3

2S_1=S_2 となるとき,
bunsuu23(n^3-9n+6sqrt3)=4sqrt3
bunsuu23n(n+3)(n-3)=0
n geqq2 より, n=3
別解
(2)
(i)
a, b は有理数であるから, x^2+ax+b=0beta=n+sqrt3 を解にもつとき, alpha=n-sqrt3 も解である.
解と係数の関係より,
a=-(alpha+beta)=-2n,b=alpha beta=n^2-3

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