2008年前期 名古屋大学 1

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文系学部
2つの円 x^2+(y-2)^2=9(x-4)^2+(y+4)^2=1 に外接し, 直線 x=6 に接する円を求めよ。 ただし, 2つの円がただ1点を共有し, 互いに外部にあるとき, 外接するという。
ヒント
求める円の中心を (a,b), 半径を r とする.
2円が外接するとき「中心間の距離=半径の和」を利用する.
解答
図1 求める円 C の中心を P(a,b), 半径を r とする.
C_1:x^2+(y-2)^2=9 は中心 A(0,2), 半径3であり, C_2:(x-4)^2+(y+4)^2=1 は中心 B(4,-4), 半径1である.
CC_1C_2 に外接するとき, C は直線 l:x=6 の左側にあるから,
a=6-r
CC_1 の中心間の距離は 3+r であるから
(6-r)^2+(b-2)^2=(3+r)^2
b^2-5b+31=18r \cdots\cdotseq1
CC_2 の中心間の距離は 1+r であるから
(2-r)^2+(b+4)^2=(1+r)^2
b^2+8b+19=6r \cdots\cdotseq2
式1, 式2 より,
b^2+14b+13=0
(b+1)(b+13)=0
b=-1,-13
よって,
(a,b,r)=(4,-1,2),(-8,-13,14)
ゆえに, 求める円は
中心 (4,-1), 半径2の円, または 中心 (-8,-13), 半径14の円

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