2008年前期 名古屋大学 2

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3
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文系学部
次の不等式の表す領域を D とする。
(x-2)^2+zettaiti{2x+3y-1}leqq4
(1)
D の概形を描き, その面積を求めよ。
(2)
(x,y)D 内を動くとき, x+y の最大値と最小値およびそれらの値をとる点の座標を求めよ。
ヒント
(1)
絶対値を外して y について整理する.
(2)
x+y=k とおくと, 点 (x,y)D 内を動くとき, 直線 l:y=-x+kD と共有点をもつ範囲を動く.
解答
(1)
図1
(x-2)^2+zettaiti{2x+3y-1}leqq4
zettaiti{2x+3y-1}leqq-x^2+4x
x^2-4x leqq2x+3y-1leqq-x^2+4x
bunsuu13(x-3)^2-bunsuu83leqq y leqq-bunsuu13(x-1)^2+bunsuu23
C_1:y=-bunsuu13(x-1)^2+bunsuu23C_2:y=bunsuu13(x-3)^2-bunsuu83 の交点は (0,bunsuu13), (4,-bunsuu73) であるから, 求める領域 D は図の斜線部分のようになる. ただし, 境界線を含む.
D の面積を S とすると
S =dint{0}{4}{-bunsuu13(x-1)^2+bunsuu23}-{bunsuu13(x-3)^2-bunsuu83}dx
=-bunsuu23dint{0}{4}x(x-4)dx
=bunsuu23bunsuu16(4-0)^3
=bunsuu{64}{9}
(2)
x+y=k とおくと, 点 (x,y)D 内を動くとき, 直線 l:y=-x+kD と共有点をもつ範囲を動く. k が最大,最小となるのは, それぞれ l が図の l_1, l_2 となるときである.
(i)
l_1 となるのは, C_1l が接するときであるから,
-bunsuu13(x-1)^2+bunsuu23=-x+k
x^2-5x+3k-1=0
の判別式 25-4(3k-1)=0 である.
よって, k=bunsuu{29}{12} で, このとき (x,y)=(bunsuu52,-bunsuu{1}{12})
(ii)
l_2 となるのは, C_2l が接するときであるから,
bunsuu13(x-3)^2-bunsuu83=-x+k
x^2-3x+1-3k=0
の判別式 9-4(1-3k)=0 である.
よって, k=-bunsuu{5}{12} で, このとき (x,y)=(bunsuu32,-bunsuu{23}{12})
ゆえに, x+y
(bunsuu52,-bunsuu{1}{12}) のとき最大値 bunsuu{29}{12} をとり, (bunsuu32,-bunsuu{23}{12}) のとき最小値 -bunsuu{5}{12} をとる.

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