2008年前期 名古屋大学 3

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3
Dept. :
文系学部
次の問に答えよ。
(1)
3x+2y leqq8 を満たす0以上の整数の組 (x,y) の個数を求めよ。
(2)
3x+2y leqq2008 を満たす0以上の整数の組 (x,y) の個数を求めよ。
ヒント
(1)
数え上げる.
(2)
x が偶数の場合と奇数の場合を分ける.
解答
(1)
(x,y)= (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),
(1,0),(1,1),(1,2),
(2,0),(2,1)
ゆえに, 求める (x,y) の個数は10.
(2)
3x+2y leqq2008
y leqq1004-bunsuu32x
y geqq0 より 0leqq x leqq669+bunsuu13 である.
(i)
x=2k (k=0,1,2,cdots,334) のとき, y leqq1004-3k より
(x,y)=(2k,0),(2k,1),(2k,2),cdots,(2k,1004-3k)
1005-3k 個である.
(ii)
x=2k+1 (k=0,1,2,cdots,334) のとき, y leqq1002+bunsuu12-3k より
(x,y)=(2k+1,0),(2k+1,1),(2k+1,2),cdots,(2k+1,1002-3k)
1003-3k 個である.
よって, 求める (x,y) の個数は
retuwa{k=0}{334}{(1005-3k)+(1003-3k)} =retuwa{k=0}{334}(2008-6k)
=bunsuu12times335times(2008+4)
=337010

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