2008年前期 名古屋大学 4

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3
Dept. :
文系学部
袋Aの中に赤玉と白玉がそれぞれ2つずつ入っていることと, 袋Bの中に赤玉3つと白玉2つが入っていることが分かっている。
(1)
袋Bから2つの玉を取り出すとき, 取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。
(2)
袋Aから1つの玉を取り出し, そのあと袋Bから2つの玉を取り出す。 その3つの玉のうち赤玉が2つである確率を求めよ。
(3)
袋Aから1つの玉を取り出したあとで, 2つの玉を袋Aから取り出すかあるいは2つの玉を袋Bから取り出すかのどちらかを選択できるとする。 できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき, 結果的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。
ヒント
(1)
5つの玉から2つの玉を取り出す組み合わせは kumiawase{5}{2}.
赤玉3つから1つ取り出す組み合わせは kumiawase{3}{1}, 白玉2つから1つ取り出す組み合わせは kumiawase{2}{1} であるから, 赤玉を1つ, 白玉を1つ取り出す確率は bunsuu{kumiawase{3}{1}cdot kumiawase{2}{1}}{kumiawase{5}{2}}
(2)
袋A,Bから取り出す赤玉の個数の組み合わせは (0,2),(1,1) のみ.
(3)
2つの玉を取り出すときの赤玉の個数の期待値を比較して, 大きい方を選択する. 袋Aから赤玉を取り出した場合には, 赤玉を1つ取り除いた袋Aと袋Bを比較し, 袋Aから白玉を取り出した場合には, 白玉を1つ取り除いた袋Aと袋Bを比較する.
解答
赤玉が i 個, 白玉が j 個入っている袋から, 2個取り出したときの赤玉の個数を X_{(i,j)} とすると, P(X_{(i,j)}=k)=bunsuu{kumiawase{i}{k}cdot kumiawase{j}{2-k}}{kumiawase{i+j}{2}} である.
(1)
求める期待値 E(X_{(3,2)})
E(X_{(3,2)}) =1times P(X_{(3,2)}=1)+2times P(X_{(3,2)}=2)
=1times bunsuu{kumiawase{3}{1}cdot kumiawase{2}{1}}{kumiawase{5}{2}}+2times bunsuu{kumiawase{3}{2}cdot kumiawase{2}{0}}{kumiawase{5}{2}}
=bunsuu65
(2)
取り出した3つの玉のうち赤玉が2つであるとき, 袋A,Bから取り出す赤玉の個数の組み合わせは (0,2),(1,1) である.
袋Aから1つの玉を取り出したとき, 赤玉が0,1つである確率はどちらも bunsuu12 である.
袋Bから2つの玉を取り出したとき, 赤玉が1,2つである確率はそれぞれ
P(X_{(3,2)}=1)=bunsuu{kumiawase{3}{1}cdot kumiawase{2}{1}}{kumiawase{5}{2}}=bunsuu35,P(X_{(3,2)}=2)=bunsuu{kumiawase{3}{2}cdot kumiawase{2}{0}}{kumiawase{5}{2}}=bunsuu{3}{10}
である.
よって, 求める確率は
bunsuu12times bunsuu35+bunsuu12times bunsuu{3}{10}=bunsuu{9}{20}
(3)
袋Aから1つ取り出した玉が赤玉の場合, 袋Aに残っているのは赤玉1つ, 白玉2つであり, 袋Aから1つ取り出した玉が白玉の場合, 袋Aに残っているのは赤玉2つ, 白玉1つである.
この状態から2つの玉を取り出した場合の赤玉の個数の期待値は, それぞれ
E(X_{(1,2)}) =1times P(X_{(1,2)}=1)
=bunsuu23
E(X_{(2,1)}) =1times P(X_{(2,1)}=1)+2times P(X_{(2,1)}=2)
=bunsuu43
袋Bから2つの玉を取り出した場合の赤玉の個数の期待値は
E(X_{(3,2)}) =1times P(X_{(3,2)}=1)+2times P(X_{(3,2)}=2)
=bunsuu65
よって, 袋Aから1つ取り出した玉が赤玉の場合, 袋Bから2つの玉を取り出すことを選択する. 袋Aから1つ取り出した玉が白玉の場合, 続けて袋Aから2つの玉を取り出すことを選択する.
袋Aから1つ取り出した玉が赤玉, 白玉である確率はどちらも bunsuu12 であるから, 求める期待値は
bunsuu12times(1+E(X_{(3,2)}))+bunsuu12times(0+E(X_{(2,1)}))=bunsuu{53}{30}

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