2008年前期 名古屋大学 5

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3
Dept. :
理系学部
a, b, c を実数として, f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+2 とする。 行列 A=gyouretu{-1}{-1}{1}{-1} と単位行列 E に対して, A^4+aA^3+bA^2+cA+2E=O (ただし, O は零行列)とする。
(1)
b, ca を用いて表せ。
(2)
方程式 f(x)=0 が少なくとも1つの正の解を持つとき, a のとりうる値の範囲を求めよ。
ヒント
(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より, A^2+2A+2E=O.
(2)
(1) の結果から, f(x)x^2+2x+2 で因数分解できる.
解答
(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より, A^2+2A+2E=O であるから,
A^4+aA^3+bA^2+cA+2E
=(A^2+2A+2E){A^2+(a-2)A+(b-2a+2)E}
+(2a-2b+c)A+(4a-2b-2)E
=(2a-2b+c)A+(4a-2b-2)E
A ne kE であるから, (2a-2b+c)A+(4a-2b-2)E=O のとき,
2a-2b+c=0,4a-2b-2=0
b=2a-1,c=2a-2
(2)
(1) より
f(x)=(x^2+2x+2){x^2+(a-2)x+1}
x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0 であるから, f(x)=0 が少なくとも1つ正の解を持つとき, g(x)=x^2+(a-2)x+1=0 が少なくとも1つ正の解をもつ.
g(0)=1>0 であるから, g(x)=0 が正の解をもつ条件は,
判別式 D=(a-2)^2-4geqq0 かつ, 軸 -bunsuu{a-2}{2}>0
ゆえに, 求める a の範囲は
a leqq0
別解
(2)
図1 x^2+(a-2)x+1=0Longleftrightarrow ax=-(x-1)^2 が少なくとも1つ正の解をもつためには y=ax, y=-(x-1)^2x>0 の範囲に少なくとも1つ共有点をもてばよい.
図より, 求める a の範囲は
a leqq0

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