2008年前期 名古屋大学 6

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3
Dept. :
理系学部
三角形 ABC で辺 ACs:1-s に内分する点を P, 辺 BCt:1-t に内分する点を Q, 線分 AQ と線分 BP の交点を R とする。 このとき,
sankaku{APR}の面積 =2times ( sankaku{BQR} の面積)
が成り立っているとする。
(1)
st を用いて表せ。
(2)
極限 dlim{t to+infty}bunsuu{s}{t} を求めよ。 ただし, t が正の範囲で0に限りなく近づくとき, t to+0 と表す。
ヒント
(1)
AR:RQ=1-x:x, BR:RP=1-y:y とおいて, x, ys, t で表す.
(2)
(1) の結果を用いて bunsuu{s}{t}t で表す.
解答
(1)
図1 AR:RQ=1-x:x, BR:RP=1-y:y とすると,
bekutoru{CR} =x bekutoru{CA}+(1-x)bekutoru{CQ}
=x bekutoru{CA}+(1-x)(1-t)bekutoru{CB}
bekutoru{CR} =(1-y)(1-s)bekutoru{CA}+y bekutoru{CG}
bekutoru{CA}, bekutoru{CB} は一次独立だから,
x=(1-y)(1-s),y=(1-x)(1-t)
x=bunsuu{t(1-s)}{s+t-st},y=bunsuu{s(1-t)}{s+t-st}
sankaku{APR}=sy sankaku{ABC}, sankaku{BQR}=tx sankaku{ABC} より, sankaku{APR}=2times sankaku{BQR} のとき,
sy sankaku{ABC}=2tx sankaku{ABC}
bunsuu{s^2(1-t)}{s+t-st}=2bunsuu{t^2(1-s)}{s+t-st}
(1-t)s^2+2t^2s-2t^2=0
0<s<1, 0<t<1 であるから,
s=bunsuu{-t^2+t sqrt{t^2-2t+2}}{1-t}
(2)
dlim{t to+0}bunsuu{s}{t} =dlim{t to+0}bunsuu{-t+sqrt{t^2-2t+2}}{1-t}
=sqrt{2}
別解
(1)
メネラウスの定理より,
bunsuu{BQ}{CB}cdot bunsuu{RA}{QR}cdot bunsuu{PC}{AP}=1,bunsuu{AP}{CA}cdot bunsuu{RB}{PR}cdot bunsuu{QC}{BQ}=1
bunsuu{t}{1}cdot bunsuu{RA}{QR}cdot bunsuu{1-s}{s}=1.bunsuu{s}{1}cdot bunsuu{RB}{PR}cdot bunsuu{1-t}{t}=1
bunsuu{RA}{QR}=bunsuu{s}{t(1-s)},bunsuu{RB}{PR}=bunsuu{t}{s(1-t)}
よって,
bunsuu{sankaku{APR}}{sankaku{BQR}} =bunsuu{bunsuu12cdot RQ cdot RP cdot sin kaku{ARP}}{bunsuu12cdot RQ cdot RB cdot sin kaku{BRQ}}
=bunsuu{RA}{QR}cdot bunsuu{PR}{RB}
=bunsuu{s^2(1-t)}{t^2(1-s)}
sankaku{APR}=2times sankaku{BQR} のとき, これが2であるから,
bunsuu{s^2(1-t)}{t^2(1-s)}=2
(1-t)s^2+2t^2s-2t^2=0
以下, (1) と同様.

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