2008年前期 名古屋大学 7

Posted by :
Date :
Level :
3
Dept. :
理系学部
曲線 C:y=log x 上の点 P(a,log a), 点 Q(b,log b) (1<a<b) をとる。
P, Q から x 軸に下ろした2本の垂線と x 軸および曲線 C で囲まれた部分の面積を S とする。
P, Q から y 軸に下ろした2本の垂線と y 軸および曲線 C で囲まれた部分の面積を T とする。
このとき, S=T となるように b がとれる a の値の範囲を求めよ。
ヒント
S=T を解くと, b log b-2b=a log a-2a であるから, x log x-2x=m が2解 a, b (a<b) を持つ条件を考える. このときの小さい方の解 a の取りうる範囲を求めればよい.
解答
図1
S =dint{a}{b}log x dx
=teisekibun{x log x-x}{a}{b}
=b log b-b-a log a+a
T =dint{log a}{log b}e^y dy
=b-a
S=T となるとき,
b log b-b-a log a+a=b-a
b log b-2b=a log a-2a
図2 f(x)=x log x-2x (x>1) とおくと, f'(x)=log x-1 より, f(x) の増減は表のようになり, y=f(x) のグラフは図のようになる.
x,(1),cdots,e,cdots,(+infty)f'(x),,-,0,+,f(x),(-2),SE,-e,NE,(+infty)
1<a<e のとき f(b)=f(a) かつ 1<a<b となる b が存在するので, 求める a の範囲は
1<a<e
別解
S=T となるとき,
b log b-b-a log a+a=b-a
bunsuu{b log b-a log a}{b-a}=2 \cdots\cdotseq1
f(x)=x log x (x>1) とおくと, f'(x)=log x+1>0, f''(x)=bunsuu{1}{x}>0 より, y=f(x) のグラフは単調増加で下に凸である.
よって, f'(a)<bunsuu{b log b-a log a}{b-a}<f'(b) であるから, 中間値の定理より a<c<b かつ bunsuu{b log b-a log a}{b-a}=f'(c) をみたす c が存在する.
式1 のとき, f'(c)=2 より, c=e であるから, a<e<b である.
ゆえに,
1<a<e

Return to page top