2008年前期 名古屋大学 8

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3
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理系学部
次の問に答えよ。
(1)
3x+2y leqq2008 を満たす0以上の整数の組 (x,y) の個数を求めよ。
(2)
bunsuu{x}{2}+bunsuu{y}{3}+bunsuu{z}{6}leqq10 をみたす0以上の整数の組 (x,y,z) の個数を求めよ。
ヒント
(1)
x が偶数の場合と奇数の場合を分ける.
(2)
x を固定し, x が偶数の場合と奇数の場合を分けて (y,z) の個数を求める.
解答
(1)
3x+2y leqq2008
y leqq1004-bunsuu32x
y geqq0 より 0leqq x leqq669+bunsuu13 である.
(i)
x=2k (k=0,1,2,cdots,334) のとき, y leqq1004-3k より
(x,y)=(2k,0),(2k,1),(2k,2),cdots,(2k,1004-3k)
1005-3k 個である.
(ii)
x=2k+1 (k=0,1,2,cdots,334) のとき, y leqq1002+bunsuu12-3k より
(x,y)=(2k+1,0),(2k+1,1),(2k+1,2),cdots,(2k+1,1002-3k)
1003-3k 個である.
よって, 求める (x,y) の個数は
retuwa{k=0}{334}{(1005-3k)+(1003-3k)} =retuwa{k=0}{334}(2008-6k)
=bunsuu12times335times(2008+4)
=337010
(2)
bunsuu{x}{2}+bunsuu{y}{3}+bunsuu{z}{6}leqq10
2y+z leqq3(20-x)
2y+z geqq0 より, 0leqq x leqq20 である.
x を固定すると,
(i)
x=2k (k=0,1,2,cdots,10) のとき,
0leqq y leqq30-3k, 0leqq z leqq60-6k-2y より, (y,z) の個数は
retuwa{y=0}{30-3k}(61-6k-2y) =bunsuu12(31-3k)(61-6k+1)
=961-186k+9k^2
(ii)
x=2k+1 (k=0,1,2,cdots,9) のとき,
0leqq y leqq28-3k+bunsuu12, 0leqq z leqq57-6k-2y より, (y,z) の個数は
retuwa{y=0}{28-3k}(58-6k-2y) =bunsuu12(29-3k)(58-6k+2)
=3(290-59k+3k^2)
以上から, (x,y,z) の個数は
retuwa{k=0}{10}(961-186k+9k^2)+retuwa{k=0}{9}3(290-59k+3k^2)
=961cdot11-186cdot bunsuu12cdot10cdot11+9cdot bunsuu16cdot10cdot11cdot21
+3(290cdot10-59cdot bunsuu12cdot9cdot10+3cdot bunsuu16cdot9cdot10cdot19)
=7106

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