2008年前期 名古屋大学 9

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3
Dept. :
理系学部
袋Aの中に赤玉と白玉がそれぞれ4つずつ入っていることと, 袋Bの中に赤玉3つと白玉2つが入っていることが分かっている。
(1)
袋Bから2つの玉を取り出すとき, 取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。
(2)
袋Aから3つの玉を取り出し, そのあと袋Bから2つの玉を取り出す。 その5つの玉のうち赤玉が3つである確率を求めよ。
(3)
袋Aから3つの玉を取り出したあとで, 2つの玉を袋Aから取り出すかあるいは2つの玉を袋Bから取り出すかのどちらかを選択できるとする。 できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき, 結果的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。
ヒント
(1)
赤玉が i 個, 白玉が j 個入っている袋から, n 個取り出したとき, 赤玉が k 個である確率は bunsuu{kumiawase{i}{k}cdot kumiawase{n}{n-k}}{kumiawase{i+j}{n}}
(2)
袋A,Bから取り出す赤玉の個数の組み合わせは (1,2),(2,1),(3,0) のみ.
(3)
袋Aから3つの玉を取り出した後, 袋Aには5つの玉が残っている.
袋Bにも5つの玉が残っているから, 赤玉の多い方を選択する.
解答
赤玉が i 個, 白玉が j 個入っている袋から, n 個取り出したときの赤玉の個数を X_{(i,j,n)} とすると, P(X_{(i,j,n)}=k)=bunsuu{kumiawase{i}{k}cdot kumiawase{n}{n-k}}{kumiawase{i+j}{n}} である.
(1)
求める期待値 E(X_{(3,2,2)})
E(X_{(3,2,2)}) =1times P(X_{(3,2,2)}=1)+2times P(X_{(3,2,2)}=2)
=1times bunsuu{kumiawase{3}{1}cdot kumiawase{2}{1}}{kumiawase{5}{2}}+2times bunsuu{kumiawase{3}{2}cdot kumiawase{2}{0}}{kumiawase{5}{2}}
=bunsuu65
(2)
取り出した5つの玉のうち赤玉が3つであるとき, 袋A,Bから取り出す赤玉の個数の組み合わせは (1,2),(2,1),(3,0) である.
よって, 求める確率は
P(X_{(4,4,3)}=1)times P(X_{(3,2,2)}=2)+P(X_{(4,4,3)}=2)times P(X_{(3,2,2)}=1)
+P(X_{(4,4,3)}=3)times P(X_{(3,2,2)}=0)
=bunsuu{kumiawase{4}{1}cdot kumiawase{4}{2}}{kumiawase{8}{3}}times bunsuu{kumiawase{3}{2}cdot kumiawase{2}{0}}{kumiawase{5}{2}}+bunsuu{kumiawase{4}{2}cdot kumiawase{4}{1}}{kumiawase{8}{3}}times bunsuu{kumiawase{3}{1}cdot kumiawase{2}{1}}{kumiawase{5}{2}}
+bunsuu{kumiawase{4}{3}cdot kumiawase{4}{0}}{kumiawase{8}{3}}times bunsuu{kumiawase{3}{2}cdot kumiawase{2}{2}}{kumiawase{5}{2}}
=bunsuu{11}{28}
(3)
袋Aから取り出した3つの玉のうち, 赤玉が m (m=0,1,2,3) 個の場合, 袋Aに残っているのは赤玉 4-m 個, 白玉 1+m 個の計5つである.
一方, 袋Bには赤玉3つ, 白玉2つの計5つが入っているから, 赤玉の多い方を選択する.
従って, m<2 のとき袋Aを選択し, m>2 のとき袋Bを選択し, m=2 のときどちらを選択してもよい.
ここで,
E(X_{(4,1,2)}) =1times P(X_{(4,1,2)}=1)+2times P(X_{(4,1,2)}=2)
=bunsuu85
E(X_{(3,2,2)}) =1times P(X_{(3,2,2)}=1)+2times P(X_{(3,2,2)}=2)
=bunsuu65
であるから, 求める期待値は
P(X_{(4,4,3)}=0){0+E(X_{(4,1,2)})}+P(X_{(4,4,3)}=1){1+E(X_{(3,2,2)})}
+P(X_{(4,4,3)}=2){2+E(X_{(3,2,2)})}+P(X_{(4,4,3)}=3){3+E(X_{(3,2,2)})}
=bunsuu{1}{14}(0+bunsuu85)+bunsuu37(1+bunsuu65)+bunsuu37(2+bunsuu65)+bunsuu{1}{14}(3+bunsuu65)
=bunsuu{191}{70}

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