2008年前期 大阪大学 1

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2
Dept. :
文系学部,理系学部
O で交わる2つの半直線 OX, OY があって kaku{XOY}=60DEG とする. 2点 A, BOX 上に O, A, B の順に, また, 2点 C, DOY 上に O, C, D の順に並んでいるとして, 線分 AC の中点を M, 線分 BD の中点を N とする. 線分 AB の長さを s, 線分 CD の長さを t とするとき, 以下の問に答えよ.
(1)
線分 MN の長さを st を用いて表せ.
(2)
A, BC, D が, s^2+t^2=1 を満たしながら動くとき, 線分 MN の長さの最大値を求めよ.
ヒント
(1)
bekutoru{MN}bekutoru{AB}bekutoru{CD} で表す.
(2)
相加相乗平均より, sqrt{s^2t^2}leqq bunsuu{s^2+t^2}{2}
解答
(1)
図1
bekutoru{MN} =bekutoru{ON}-bekutoru{OM}
=bunsuu12(bekutoru{OA}+bekutoru{OC})-bunsuu12(bekutoru{OB}+bekutoru{OD})
=bunsuu12{(bekutoru{OA}-bekutoru{OB})+(bekutoru{OC}-bekutoru{OD})}
=bunsuu12(bekutoru{AB}+bekutoru{CD})
zettaiti{bekutoru{AB}}=s, zettaiti{bekutoru{CD}}=t, vnaiseki{AB}{CD}=bunsuu{st}{2} より,
zettaiti{bekutoru{MN}}^2 =bunsuu14zettaiti{bekutoru{AB}+bekutoru{CD}}^2
=bunsuu14(zettaiti{bekutoru{AB}}^2+2vnaiseki{AB}{CD}+zettaiti{bekutoru{CD}}^2)
=bunsuu14(s^2+st+t^2)
よって,
MN=bunsuu12sqrt{s^2+st+t^2}
(2)
相加相乗平均より,
st leqq bunsuu{s^2+t^2}{2}=bunsuu12
等号は, s^2=t^2 すなわち, s=t=bunsuu{sqrt2}{2} のとき成り立つ.
よって, MNs=t=bunsuu{sqrt2}{2} のとき, 最大値 bunsuu12sqrt{1+bunsuu12}=bunsuu{sqrt6}{4} をとる.

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