2008年前期 大阪大学 2

Posted by :
よよよ
Date :
2010年10月 2日 04:00
Level :
2
Dept. :
文系学部
実数 a, b を係数に含む3次式 P(x)=x^3+3ax^2+3ax+b を考える. P(x) の複素数の範囲における因数分解を
P(x)=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)
とする. alpha, beta, gamma の間に alpha+gamma=2beta という関係があるとき, 以下の問に答えよ.
(1)
b を a の式で表せ.
(2)
alpha, beta, gamma がすべて実数であるとする. このとき a のとりうる値の範囲を求めよ.
(3)
(1) で求めた a の式を f(a) とする. a が (2) の範囲を動くとき, 関数 b=f(a) のグラフをかけ.
ヒント
(1)
2式の係数を比較し, alpha, beta, gamma, a, b の関係を表して解く.
(2)
beta=-a は実数解であるから, (x+a) で因数分解できる. 残った2次式が実数解をもつ.
(3)
微分して増減表を書く.
解答
(1)
2式の係数を比較して,
3a=-(alpha+beta+gamma),3a=alpha beta+beta gamma+gamma alpha,b=-alpha beta gamma
alpha+gamma=2beta であるから,
3a=-3beta,3a=2beta^2+gamma alpha,b=-beta(gamma alpha)
beta=-a,gamma alpha=3a-2a^2,b=a(3a-2a^2)
ゆえに,
b=-2a^3+3a^2
(2)
P(x) =x^3+3ax^2+3ax-2a^3+3a^2
=(x+a)(x^2+2ax+3a-2a^2)   (*1)
alpha, beta, gamma がすべて実数であるとき, x^2+2ax+3a-2a^2=0 が実数解をもつから, 判別式 D geqq0 である.
D/4=a^2-(3a^2-2a^2)geqq0
3a(a-1)geqq0
a leqq0,1leqq a
(3)
図1
f(a) =-a^2(2a-3)
bunsuu{df(a)}{da} =-6a(a-1)
よって, f(a) の増減は表のようになる.
a,cdots,0,cdots,1,cdots{bunsuu{df(a)}{da}},-,0,+,0,-f(a),SE,0,NE,1,SE
ゆえに, b=f(a) の a leqq0,1leqq a におけるグラフは図のようになる.
解説
(*1)
beta=-a を解にもつから, (x+a) で因数分解できる.
Categories :
2008年前期 | 大阪大学 | 高次方程式
Tags :
3次方程式の解, 3次関数のグラフ, 解と係数の関係
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