2008年前期 大阪大学 3

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3
Dept. :
文系学部,理系学部
a を正の整数とし,
f(x)=zettaiti{zettaiti{x-3a}-a},g(x)=-x^2+6ax-5a^2+a
を考える.
(1)
方程式 f(x)=a の解を求めよ.
(2)
y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ.
ヒント
(1)
内側の絶対値から順に考える.
(2)
y=a の上側と下側で分けて計算する.
解答
(1)
y=f(x), y=a のグラフは図のようになる.
図1 図2
よって, f(x)=a の解は x=a,3a,5a
(2)
図3
g(x)=-(x-a)(x-5a)+a
y=f(x), y=g(x) で囲まれる図形は図の斜線部分のようになる.
この面積を S とすると,
S =dint{a}{5a}{g(x)-a}dx+2times bunsuu12cdot2a cdot a   (*1)
=-dint{a}{5a}(x-a)(x-5a)dx+2a^2
=bunsuu16(5a-a)^3+2a^2
=bunsuu{32}{3}a^3+2a^2
解説
(*1)
斜線部分を y=a の上側と下側の2つの三角形に分けて計算している.

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