2008年前期 大阪大学 4

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2
Dept. :
理系学部
2次の正方行列 A_0,A_1,A_2,A_3,cdots
A_0=O,A_n=B+A_{n-1}C(n=1,2,3,cdots)
で定める. ただし, O は2次の零行列, BC は2次の正方行列とする.
(1)
A_n(E-C)BC を用いて表せ.ここで E は2次の単位行列とする.
(2)
BC
B=gyouretu0110,C=gyouretu{1}{3}{-1}{1}
とするとき, A_{3n} を求めよ.
ヒント
(1)
特性方程式から漸化式を導く.
(2)
C^3=-8E
解答
(1)
A_n(E-C)-B ={A_{n-1}(E-C)-B}C
={A_0(E-C)-B}C^n
=-BC^n
A_n(E-C) =B(E-C^n)
(2)
C^2=gyouretu{-2}{6}{-2}{-2},C^3=gyouretu{-8}{0}{0}{-8}=-8E,(E-C)^{-1}=gyouretu{0}{3}{-1}{0}
であるから, (1) より
A_{3n} =B(E-C^{3n})(E-C)^{-1}
=B{E-(-8)^nE}(E-C)^{-1}
={1-(-8)^n}B(E-C)^{-1}
={1-(-8)^n}gyouretu{0}{1}{1}{0}gyouretu{0}{3}{-1}{0}
={1-(-8)^n}gyouretu{-1}{0}{0}{3}

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