2008年前期 大阪大学 5

Posted by :
Date :
Level :
4
Dept. :
理系学部
N を2以上の自然数とする.
(1)
関数 f(x)=(N-x)log x1leqq x leqq N の範囲で考える. このとき, 曲線 y=f(x) は上に凸であり, 関数 f(x) は極大値を1つだけとる. このことを示せ.
(2)
自然数の列 a_1,a_2,cdots,a_N
a_n=n^{N-n}(n=1,2,cdots,N)
で定める. a_1,a_2,cdots,a_N のうちで最大の値を M とし, M=a_n となる n の個数を k とする. このとき, k leqq2 であることを示せ.
(3)
(2)k=2 となるのは, N が2のときだけであることを示せ.
ヒント
(1)
f'(x) の単調性を利用する.
(2)
(1) で得た y=f(x) のグラフの形を利用する.
(3)
f(x)x=alpha で極大値をとるとすると, 自然数 mm leqq alpha<m+1 をみたすとき, M=a_m または M=a_{m+1} となる.
解答
(1)
f'(x) =-log x+bunsuu{N}{x}-1
f''(x) =-bunsuu{x+N}{x^2}
1leqq x leqq N において f''(x)<0 であるから, f(x) は上に凸であり, f'(x) は単調減少である.
f'(1)=N-1>0, f(N)=-log N<0 であるから, 1<x<Nf'(x)=0 の解 x=alpha がただ1つ存在する.
よって, f(x) の増減は表のようになる.
x,1,cdots,alpha,cdots,N f'(x),,+,0,-,f(x),0,NE,,SE,0
ゆえに, f(x) は極大値を1つだけとる.
(2)
図1 log a_n=f(n) より,
a_n が最大 Longleftrightarrow f(n) が最大
グラフより, 任意の実数 t に対し, 1leqq n leqq N において y=f(x)y=t の共有点は高々2つであるから, f(n)=M をみたす n は高々2つである.
ゆえに, k leqq2 である.
(3)
(2) で, k=2 となるのは 1leqq m<alpha<m+1leqq N をみたす自然数 m に対し, a_m=a_{m+1} すなわち
m^{N-m}=(m+1)^{N-m-1}
となるときのみである.
mm+1 は互いに素であるから, m=1,N-m-1=0 である.
ゆえに, N=2

Return to page top