2008年前期 大阪大学 6

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3
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理系学部
t を負の実数とし, xy 平面上で曲線 y=2^{2x+2t} と曲線 y=2^{x+3t} および y 軸で囲まれる部分を D とする.
(1)
Dx 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V(t) を求めよ.
(2)
t が負の実数の範囲を動くとき, V(t) の最大値を求めよ.
ヒント
(1)
y=2^{2x+2t}, y=2^{x+3t} の交点を求め, D を図示する.
(2)
X=2^t とおく.
解答
(1)
図1 y=2^{2x+2t}, y=2^{x+3t} を連立すると,
2^{2x+2t}=2^{x+3t}
2x+2t=x+3t
x=t
よって, 交点の x 座標は t であるから, D は図の斜線部分のようになる.
V(t) =pi dint{t}{0}{(2^{2x+2t})^2-(2^{x+3t})^2}dx
=pi teisekibun{bunsuu{2^{4x+4t}}{4log2}-bunsuu{2^{2x+6t}}{2log2}}{t}{0}
=bunsuu{pi}{4log2}(2^{8t}-2^{6t+1}+2^{4t})
(2)
X=2^{2t} とおくと, t<0 より, 0<X<1 である.
V(t) =bunsuu{pi}{4log2}(X^4-2X^3+X^2)
=bunsuu{pi}{4log2}{X(1-X)}^2
=bunsuu{pi}{4log2}{-(X-bunsuu12)^2+bunsuu14}^2
よって, V(t)X=bunsuu12 すなわち t=-bunsuu12 のとき, 最大値 bunsuu{pi}{64log2} をとる.

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