2008年前期 大阪大学 7

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4
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理系学部
1枚の効果を繰り返し投げる反復試行を行い, 表が500回続けて出たときに終わるものとする. n を500以上の自然数とするとき, この反復試行が n 回目で終わる確率を p(n) とする.
(1)
501leqq n leqq1000 のとき, p(n)n に関係なく一定の値になることを示し, またその値を求めよ.
(2)
p(1002)-p(1001) の値を求めよ.
(3)
1002leqq n leqq1500 のとき, p(n+1)-p(n) の値を求めよ.
ヒント
(1)
最後の500回が表で, その前の1回は裏である.
(2)
1001回目で終了するのは, 500回目で終了することなく, 501回目で裏が出て, 502~1001回目で表が出るときである.
(3)
(2) と同様に考える.
解答
(1)
501leqq n leqq1000 のとき, n-501leqq499 より, n-501 回目までに終了することはない.
n geqq502 のとき, n 回目で終了するのは次の場合である.
1~(n-501)回目 :表でも裏でもよい.
(n-500)回目 :裏
(n-499)~n回目 :表
よって,
p(n)=1^{n-501}cdot bunsuu12cdot(bunsuu12)^{500}=(bunsuu12)^{501}     (n=501のときも成立)
ゆえに, p(n)n に関係なく一定の値 (bunsuu12)^{501} となる.
(2)
n=1001 のとき,
1~500回目 :「500回目で終了」以外.
501回目 :裏
502~1001回目 :表
n=1002 のとき,
1~501回目 :「500回目で終了」「501回目で終了」以外.
502回目 :裏
503~1002回目 :表
よって,
p(1001) ={1-p(500)}cdot bunsuu12cdot(bunsuu12)^{500}
p(1002) ={1-p(500)-p(501)}cdot bunsuu12cdot(bunsuu12)^{500}
p(1002)-p(1001) =-p(501)cdot(bunsuu12)^{501}
(1) より, p(501)=(bunsuu12)^{501} であるから,
p(1002)-p(1001)=-(bunsuu12)^{1002}
(3)
(2) と同様に, 1002leqq n leqq1500 のとき,
p(n) ={1-p(500)-p(501)-cdots.
.cdots-p(n-502)-p(n-501)}bunsuu12(bunsuu12)^{500}
p(n+1) ={1-p(500)-p(501)-cdots.
.cdots-p(n-502)-p(n-501)-p(n-500)}bunsuu12(bunsuu12)^{500}
よって,
p(n+1)-p(n)=-p(n-500)cdot(bunsuu12)^{501}
502leqq n-500leqq1000 であるから, (1) より, p(n-500)=(bunsuu12)^{501}
ゆえに,
p(n+1)-p(n)=-(bunsuu12)^{1002}

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