2008年前期 神戸大学 1

Posted by :
Date :
Level :
2
Dept. :
文系学部
x の2次関数 f(x)=ax^2+bx+c とその導関数 f'(x) について, 次の問に答えよ. ただし, a, b, c は定数で a neq0 とする.
(1)
実数 alpha, beta について, f(alpha)=f(beta) ならば zettaiti{f'(alpha)}=zettaiti{f'(beta)} であることを示せ.
(2)
実数 alpha, beta について, zettaiti{f'(alpha)}=zettaiti{f'(beta)} ならば f(alpha)=f(beta) であることを示せ.
ヒント
zettaiti{f'(alpha)}=zettaiti{f'(beta)}Longleftrightarrow{f'(alpha)}^2={f'(beta)}^2
解答
f'(x)=2ax+b, zettaiti{f'(alpha)}=zettaiti{f'(beta)}Longleftrightarrow{f'(alpha)}^2={f'(beta)}^2 である.
f(alpha)-f(beta) =(a alpha^2+b alpha+c)-(a beta^2+b beta+c)
={a(alpha^2-beta^2)+b(alpha-beta)}
=(alpha-beta){a(alpha+beta)+b} \cdots\cdotseq1
{f'(alpha)}^2-{f'(beta)}^2 =(2a alpha+b)^2-(2a beta^2-b)^2
=4a(alpha-beta){a(alpha+beta)+b} \cdots\cdotseq2
(1)
式1 より, f(alpha)=f(beta) ならば,
(alpha-beta){a(alpha+beta)+b}=0
このとき, 式2 より,
{f'(alpha)}^2-{f'(beta)}^2=0
ゆえに,
zettaiti{f'(alpha)}=zettaiti{f'(beta)}
(2)
式2 より, zettaiti{f'(alpha)}=zettaiti{f'(beta)} ならば,
4a(alpha-beta){a(alpha+beta)+b}=0
a ne0 より,
(alpha-beta){a(alpha+beta)+b}=0
このとき, 式1 より,
f(alpha)-f(beta)=0
ゆえに,
f(alpha)=f(beta)

前後のエントリー

Trackbacks:0

TrackBack URL : http://www.yocean.com/x/mt/mt-tb.cgi/85

Comments:0


画像の中に見える文字を入力してください。

Return to page top