2008年前期 神戸大学 4

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3
Dept. :
理系学部
実数 x, y に関する次の各命題の真偽を答えよ. さらに, 真である場合には証明し, 偽である場合には反例をあげよ.
(1)
x>0 かつ xy>0 ならば, y>0 である.
(2)
x geqq0 かつ xy geqq0 ならば, y geqq0 である.
(3)
x+y geqq0 かつ xy geqq0 ならば, y geqq0 である.
ヒント
(1)
xyx で割る.
(2)
x=0 とする.
(3)
y<0 と仮定する.
解答
(1)

xy>0 の両辺を x で割ると, x>0 であるから, y>0
(2)

x=0, y=-1 のとき, x geqq0, xy geqq0 であるが, y<0
(3)

y<0 と仮定する.
xy geqq0 の両辺を y で割ると, y<0 であるから, x leqq0
したがって, x+y<0 であるが, これは x+y geqq0 に反する.
ゆえに, y geqq0

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