2008年前期 神戸大学 5

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3
Dept. :
理系学部
xy 平面上に3点 A(1,0), B(-1,0), C(0,sqrt3) をとる. このとき, 次の問に答えよ.
(1)
A, B の2点を中心とする同じ半径 r の2つの円が接する. このような r の値を求めよ.
(2)
(1) で求めた r の値について, C を中心とする半径 r の円が, A, B の2点を中心とする半径 r の2つの円のどちらとも接することを示せ.
(3)
A, B, C の3点を中心とする同じ半径 s の3つの円が直線 l に接する. このような s の値と直線 l の方程式をすべて求めよ.
ヒント
(1)
同じ半径 r の2つの円が接するとき, 外接である.
(2)
半径の和と中心間の距離が等しいことを示す.
(3)
対称性から l が3つ存在する.
解答
(1)
同じ半径 r の2つの円が接するのは, 外接であるから,
AB=2r
ゆえに, r=1
(2)
AC=BC=sqrt{1^2+sqrt3^2}=2=2r であるから, C を中心とする半径 r の円は, A, B の2点を中心とする半径 r の2つの円のどちらとも接する.
(3)
図1 A, B, C の3点を中心とする半径 s の3円が直線 l に接するのは, 図のようになるときである.
図の対称性より, l_1, l_2, l_3 はそれぞれ BCCA, CAAB, ABBC の中点を通る.
2s=OC=sqrt3 より, s=bunsuu{sqrt3}{2}
ly=bunsuu{sqrt3}{2}, y=sqrt{3}x, y=-sqrt{3}x
別解
(3)
lax+by+c=0 とすると,
bunsuu{zettaiti{a+c}}{sqrt{a^2+b^2}}=bunsuu{zettaiti{-a+c}}{sqrt{a^2+b^2}}=bunsuu{zettaiti{sqrt3b+c}}{sqrt{a^2+b^2}}=s
これを解いて,
s=bunsuu{sqrt3}{2},(a,b,c)=(0,b,-bunsuu{sqrt3}{2}b),(pm sqrt{3}b,b,0)
ゆえに,
s=bunsuu{sqrt3}{2},l:y=bunsuu{sqrt3}{2},y=pm sqrt{3}x

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