2008年前期 神戸大学 6

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3
Dept. :
理系学部
1から n までの自然数 1,2,3,cdots,n の和を S とするとき, 次の問に答えよ.
(1)
n を4で割った余りが0または3ならば, S が偶数であることを示せ.
(2)
S が偶数ならば, n を4で割った余りが0または3であることを示せ.
(3)
S が4の倍数ならば, n を8で割った余りが0または7であることを示せ.
ヒント
(1)
n を4で割った余りが3ならば, 自然数 k を用いて n=4k-1 と表せる.
(2)
n を4で割った余りが0,1,2,3であるときの S をそれぞれ求める.
(3)
S が4の倍数ならば, 2の倍数でもあるので, (2) が利用できる.
解答
S=bunsuu12n(n+1)
(1)
n=4k,4k-1,4k-2,4k-3 (k=1,2,3,cdots) のいずれかで表せる.
n,S,Sの偶奇4k,2k(4k+1),偶数4k-1,2k(4k-1),偶数4k-2,(2k-1)(4k-1),奇数4k-3,(4k-3)(2k-1),奇数
n を4で割った余りが0または3ならば, n=4k, 4k-1 と表せるから, 表より, S は偶数である.
(2)
(1) の表より,
S が偶数ならば, n を4で割った余りは0または3である.
(3)
S が4の倍数ならば, S は偶数であるから, (2) より, n を 4で割った余りは0または3である.
よって, n を 8で割った余りは0, 4, 3, 7 のいずれかあるから, n=8k, 8k-4, 8k-5, 8k-1 (k=1,2,3,cdots) のいずれかで表せる.
n,S8k,4k(8k+1)8k-4,2(2k-1)(8k-3)8k-5,2(8k-5)(2k-1)8k-1,4k(8k-1)
表より, S が4の倍数ならば, n を8で割った余りが0または7である.
別解
(2)
S が偶数ならば, 自然数 m を用いて, S=2m と表せる.
S=bunsuu12n(n+1) より, n(n+1)=4m
n, n+1 の偶奇は異なるから, n, n+1 のいずれかが4の倍数である.
ゆえに, n を4で割った余りは0または3である.
(3)
S が4の倍数ならば, 自然数 m を用いて, S=4m と表せる.
S=bunsuu12n(n+1) より, n(n+1)=8m
n, n+1 の偶奇は異なるから, n, n+1 のいずれかが8の倍数である.
ゆえに, n を8で割った余りは0または7である.

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