2008年前期 神戸大学 7

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3
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理系学部
xy 平面上に5点 A(0,2), B(2,2), C(2,1), D(4,1), P(0,3) をとる. 点 P を通り傾き a の直線 l が, 線分 BC と交わり, その交点は B, C と異なるとする. このとき, 次の問に答えよ.
(1)
a の値の範囲を求めよ.
(2)
直線 l と線分 AB, 線分 BC で囲まれる図形を x 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を V_1, 直線 l と線分 BC, 線分 CD で囲まれる図形を x 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を V_2 とするとき, それらの和 V=V_1+V_2a の式で表せ.
(3)
(1) で求めた a の値の範囲で, (2) で求めた V は, a=-bunsuu34 のとき最小値をとることを示せ.
ヒント
(1)
x=2 のときの y 座標が BCy 座標の間にある.
(2)
円柱の体積を利用して計算する.
(3)
微分すると, 4a+3 で因数分解できる.
解答
(1)
図1 直線 BCl の交点は (2,2a+3) であり, これが線分 BC (端点を除く) 上にあるので,
1<2a+3<2
ゆえに,
-1<a<-bunsuu12

(2)
lAB, CD の交点の x 座標は, それぞれ -bunsuu{1}{a}, -bunsuu{2}{a} である.
V_1 =pi cdot2^2cdot{2-(-bunsuu1a)}-pi dint{-frac1a}{2}(ax+3)^2dx
=-bunsuu{pi}{3a}(8a^3+36a^2+30a+7)
V_2 =pi dint{2}{-frac2a}(ax+3)^2dx-pi cdot1^2cdot(-bunsuu2a-2)
=-bunsuu{pi}{3a}(8a^3+36a^2+48a+20)
よって,
V=-bunsuu{pi}{3a}(16a^3+72a^2+78a+27)
(3)
bunsuu{dV}{da}=-pi bunsuu{(4a+3)(8a^2+12a-9)}{3a^2}
-1<a<-bunsuu128a^2+12a-9<0 であるから, V の増減は表のようになる.
a,-1,cdots,{-bunsuu34},cdots,-bunsuu12{bunsuu{dV}{da}},,-,0,+,V,,SE,,NE,
ゆえに, Va=-bunsuu34 で極小値をとる.

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