2008年前期 神戸大学 8

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3
Dept. :
理系学部
n, k を自然数とする. このとき, 次の問に答えよ.
(1)
(1+x)^n の展開式を用いて, 次の等式を示せ.
2^n =kumiawase{n}{0}+kumiawase{n}{1}+kumiawase{n}{2}+kumiawase{n}{3}+cdots+kumiawase{n}{n}
0 =kumiawase{n}{0}-kumiawase{n}{1}+kumiawase{n}{2}-kumiawase{n}{3}+cdots+(-1)^n kumiawase{n}{n}
(2)
gyouretu0110^k を求めよ.
(3)
2次の正方行列 M_1,M_2,M_3,cdots,M_n はそれぞれが bunsuu13 の確率で, gyouretu1001, gyouretu0110, gyouretu0000 のいずれかになるとする. n 個の行列の積 M_1M_2M_3cdots M_ngyouretu1001 と等しくなる確率を求めよ.
ヒント
(1)
(1+x)^n を二項定理を用いて展開する. 左辺は 2^n, 0 となるには, x=1, x=-1 とする.
(2)
k=2,3,cdots と計算してみる.
(3)
E, gyouretu0110, O, がそれぞれ何個のときに E になるか.
解答
(1)
二項定理より,
(1+x)^n=retuwa{k=0}{n}kumiawase{n}{k}x^k=kumiawase{n}{0}x^0+kumiawase{n}{1}x^1+kumiawase{n}{2}x^2+kumiawase{n}{3}x^3+cdots+kumiawase{n}{n}x^n
x=1, x=-1 とすると,
2^n =retuwa{k=0}{n}kumiawase{n}{k}1^k=kumiawase{n}{0}+kumiawase{n}{1}+kumiawase{n}{2}+kumiawase{n}{3}+cdots+kumiawase{n}{n}
0 =retuwa{k=0}{n}kumiawase{n}{k}(-1)^k=kumiawase{n}{0}-kumiawase{n}{1}+kumiawase{n}{2}-kumiawase{n}{3}+cdots+(-1)^n kumiawase{n}{n}
(2)
A=gyouretu0110, E=gyouretu1001, O=gyouretu0000 とすると, A^2=gyouretu1001=E である.
k が偶数のとき, k=2m (m=1,2,3,cdots) と表せ,
A^{2m}=(A^2)^m=E^m=E
k が奇数のとき, k=2m-1 (m=1,2,3,cdots) と表せ,
A^{2m-1}=(A^2)^{m-1}A=E^{m-1}A=A
ゆえに,
gyouretu0110^k=gyouretu0110,(kが奇数のとき);gyouretu1001,(kが偶数のとき)
(3)
M_l (l=1,2,3,cdots,n) が1つでも O になると M_1M_2M_3cdots M_n=O となるため, M_l は1つも O ではない.
よって, M_lA, E のいずれかであり, A の個数を k とすると,
M_1M_2M_3cdots M_n=A^kE^{n-k}=A^k
(2) より, M_1M_2M_3cdots M_n=E となるとき k は偶数である.
Ak 個, En-k 個, O が0個となる確率 p_k は,
p_k=kumiawase{n}{k}(bunsuu13)^k(bunsuu13)^{n-k}=kumiawase{n}{k}(bunsuu13)^n
であるから, 2mn を超えない最大の偶数とすると, 求める確率 P
P =p_0+p_2+p_4+cdots+p_{2m}
=(bunsuu13)^n(kumiawase{n}{0}+kumiawase{n}{2}+kumiawase{n}{4}+cdots+kumiawase{n}{2m})
ここで, (1) の2式を辺々を加えると,
2^n =2(kumiawase{n}{0}+kumiawase{n}{2}+kumiawase{n}{4}+cdots+kumiawase{n}{2m})
bunsuu12 2^n =kumiawase{n}{0}+kumiawase{n}{2}+kumiawase{n}{4}+cdots+kumiawase{n}{2m}
ゆえに, 求める確率は
P=(bunsuu13)^n cdot bunsuu12 2^n=bunsuu12(bunsuu23)^n

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