2008年前期 広島大学 1

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1
Dept. :
文系学部
3次関数
y=x^3-cx
のグラフを考える。ただし, c は定数とする。 そして, 2点 P, Q が, 次の条件を満たしながら, このグラフ上全体を動くものとする。
(条件) Px 座標は Qx 座標より1だけ小さい。
このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
線分 PQ の傾きが最小になるときの点 Px 座標と, 傾きの最小値を求めよ。
(2)
線分 PQ の傾きが0となる点 P が存在するような, c の値の範囲を求めよ。
(3)
線分 PQ の中点の x 座標と同じ x 座標をもつグラフ上の点を R とする。 点 R におけるグラフの接線の傾きは, 線分 PQ の傾きより常に小さいことを示せ。
ヒント
(1)
Px 座標を t とおくと, P, Q の座標を t で表せるから, 傾きも t で表せる.
(2)
(1) で求めた傾きが0となる t が存在すればよい.
(3)
(PQ の傾き) - (R の傾き) >0 を示せばよい.
解答
(1)
Px 座標を t とおくと, P(t,t^3-ct), Q(t+1,(t+1)^3-c(t+1))
PQ の傾き m
m =bunsuu{(t+1)^3-c(t+1)-(t^3-ct)}{(t+1)-t}
=3t^2+3t+1-c
=3(t+bunsuu12)^2+bunsuu14-c \cdots\cdotseq1
よって, 点 Px 座標が bunsuu12 のとき, PQ の傾きは最小値 bunsuu14-c をとる.
(2)
式1 は下に凸の放物線だから, bunsuu14-c leqq0 のとき, PQ の傾きが 0 となるような P が存在する.
よって,
c geqq bunsuu14
(3)
y'=3x^2-c, Rx 座標は bunsuu{t+1}{2} であるから, R におけるグラフの接線の傾き n
n=3(t+bunsuu12)^2-c \cdots\cdotseq2
式1, 式2 より
m-n ={3(t+bunsuu12)^2+bunsuu14-c}-{3(t+bunsuu12)^2-c}
=bunsuu14>0
m >n
よって, R におけるグラフの接線の傾きは, PQ の傾きより小さい.

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