2008年前期 広島大学 3

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3
Dept. :
文系学部
2点 A, B と, その上を動く1個の石を考える。この石は, 時刻 t=0 で点 A にあり, その後, 次の規則 (a), (b) にしたがって動く。
t=0,1,2,cdots に対して,
(a)
時刻 t に石が点 A にあれば, 時刻 t+1 に石が点 A にある確率は bunsuu13, 点 B にある確率は bunsuu23 である。
(b)
時刻 t に石が点 B にあれば, 時刻 t+1 に石が点 B にある確率は bunsuu13, 点 A にある確率は bunsuu23 である。
いま, n を自然数とし, 時刻 t=n において石が点 A にある確率を p_n とするとき, 次の問いに答えよ。
(1)
p_1 を求めよ。
(2)
p_{n+1}p_n を用いて表せ。
(3)
p_n を求めよ。
ヒント
(1)
規則 (a)
(2)
t=n のとき, B にある確率は 1-p_n
(3)
p_{n+1}, p_nx に置き換えた特性方程式を利用する.
解答
(1)
規則 (a) より, p_1=bunsuu13
(2)
t=n のとき, A にあって t=n+1 のとき A にある確率は
p_n cdot bunsuu13
t=n のとき, B にあって t=n+1 のとき A にある確率は
(1-p_n)cdot bunsuu23
これらは排反事象であるから,
p_{n+1} =p_n cdot bunsuu13+(1-p_n)cdot bunsuu23
=-bunsuu13p_n+bunsuu23
(3)
p_{n+1}-bunsuu12=-bunsuu13(p_n-bunsuu12)
数列 {p_n-bunsuu12} は, 初項 p_1-bunsuu12=-bunsuu16, 公比 -bunsuu13 の等比数列であるから,
p_n-bunsuu12=(-bunsuu13)^{n-1}(-bunsuu16)
p_n=bunsuu12+bunsuu12(-bunsuu13)^n

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