2008年前期 広島大学 4

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文系学部
x_1=x_2=1 とし, x_n (n=3,4,cdots)x_{n-2}x_{n-1} の和を 3で割ったときの余りであるとして, 数列 {x_n} (n=1,2,cdots) を定める。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
数列 {x_n} の第3項から第12項までのそれぞれの値を, 解答用紙にある表の中に書け。
(2)
x_{346} を求めよ。
(3)
S_m=retuwa{n=1}{m}x_n とおき, S_m geqq684 を満たす最小の自然数 m を求めよ。
ヒント
(1)
x_1+x_2=1+1=2 より x_3=2, x_2+x_3=1+2=3 より x_4=0
(2)
x_n には周期がある.
(3)
x_1+x_2+cdots+x_8=9 を繰り返す.
解答
(1)
n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12x_n,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0
(2)
x_9=x_1, x_{10}=x_2 であるから, {x_n}x_1,x_2,cdots,x_7 を繰り返す周期 8 の数列である.
x_{346}=x_{8cdot43+2}=x_2=1
(3)
自然数 m に対し, n を8で割った商, 余りをそれぞれ k, l とすると, m=8k+l (k geqq0,0leqq l leqq7) と表せる.
s_m =retuwa{n=1}{k}(x_{8n-7}+x_{8n-6}+cdots+x_{8n-1}+x_{8n})+x_{8k+1}+cdots+x_{8k+l}
=retuwa{n=1}{k}(x_1+x_2+cdots+x_7+x_8)+(x_1+x_2+cdots+x_l)
=9k+(x_1+x_2+cdots+x_l)
s_m=684=9cdot76 であるから, k=76, l=0 のとき, すなわち m=608 のとき s_m=684 である.
x_{608}=0,x_{607}=1 より, s_{606}=683, s_{607}=684, s_{608}=684 であり, s_m は単調非減少であるから, S_m geqq684 を満たす最小の自然数 m は 607.

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