2008年前期 広島大学 5

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2
Dept. :
文系学部
三角形 OAB において, OAt:(1-t) に内分する点を M, OBt:(1-t) に内分する点を N とする。 ただし, t0<t<1 の範囲を動く。 そして, 線分 ANBM の交点を P とするとき, 次の問いに答えよ。
(1)
bekutoru{MN}bekutoru{OA}, bekutoru{OB} および t を用いて表し, bekutoru{MN}bekutoru{AB} が平行であることを示せ。
(2)
s=bunsuu{BM}{BP} とするとき, st を用いて表し, s のとりうる値の範囲を求めよ。
(3)
三角形 AMP と三角形 CAB の面積比 r=bunsuu{sankaku{AMP}}{sankaku{OAB}}(2)s を用いて表し, r の最大値を求めよ。
ヒント
(1)
bekutoru{OM}=t bekutoru{OA}
(2)
sankaku{PMN}souzi sankaku{PBA}
(3)
BP:PM=sankaku{ABP}:sankaku{APM}
解答
(1)
図1
bekutoru{MN} =bekutoru{ON}-bekutoru{OM}
=t bekutoru{OB}-t bekutoru{OA}
=t bekutoru{AB}
よって, bekutoru{MN}bekutoru{AB} と平行である.
(2)
bekutoru{MN}bekutoru{AB} と平行だから, sankaku{PMN}souzi sankaku{PBA}
MN=tAB より, MN:BA=t:1 だから, BP:PM=1:t
よって, BP:BM=1:1+t なので, s=bunsuu{BM}{BP}=1+t
0<t<1 より, 1<s<2
(3)
sankaku{AMP} =bunsuu{PM}{BM}sankaku{AMB}
=bunsuu{PM}{BM}bunsuu{MA}{OA}sankaku{OAB}
=bunsuu{s-1}{s}bunsuu{1-t}{1}sankaku{OAB}
=bunsuu{(s-1)(s-2)}{s}sankaku{OAB}
よって, r=bunsuu{(s-1)(s-2)}{s}
r =-(s+bunsuu{2}{s})+3
leqq-(2sqrt{s bunsuu{2}{s}})+3
=3-2sqrt2
等号は, s=bunsuu{2}{s} すなわち s=sqrt{2} のとき成り立つ.
よって, rs=sqrt{2} のとき, 最大値 3-sqrt2 をとる.

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