2008年前期 九州大学 1

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3
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文系学部
自然数 n に対して, a_n=(cos2^n)(cos2^{n-1})cdots(cos2)(cos1) とおく。 ただし, 角の大きさを表すのに弧度法を用いる。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
a_1=bunsuu{sin4}{4sin1} を示せ。
(2)
a_n=bunsuu{sin2^{n+1}}{2^{n+1}sin1} を示せ。
(3)
a_n<bunsuu{sqrt2}{2^{n+1}} を示せ。
ヒント
(1)
倍角の公式を用いて整理する.
(2)
(1) と同様に繰り返す.
(3)
bunsuu{pi}{4}<1<bunsuu{pi}{2} より, sin1 の範囲が求まる.
解答
(1)
a_1 =(cos2)(cos1)
=bunsuu{(cos2)(cos1)(sin1)}{sin1}
=bunsuu{(cos2)(sin2)}{2sin1}   (*1)
=bunsuu{sin4}{4sin1}   (*1)
(2)
a_n =(cos2^n)(cos2^{n-1})cdots(cos2^3)(cos2^2)(cos2)(cos1)
=(cos2^n)(cos2^{n-1})cdots(cos2^3)(cos2^2)bunsuu{sin4}{4sin1}
=(cos2^n)(cos2^{n-1})cdots(cos2^3)bunsuu{sin2^3}{2^3sin1}
=cdots
=bunsuu{sin2^{n+1}}{2^{n+1}sin1}
(3)
bunsuu{pi}{4}<1<bunsuu{pi}{2} より,
sin1>sin bunsuu{pi}{4}=bunsuu{sqrt2}{2}
また, sin2^{n+1}leqq1 であるから,
a_n=bunsuu{sin2^{n+1}}{2^{n+1}sin1}leqq bunsuu{1}{2^{n+1}sin1}<bunsuu{sqrt2}{2^{n+1}}
別解
(2)
a_n=bunsuu{sin2^{n+1}}{2^{n+1}sin1} \cdots\cdotseq1
を数学的帰納法を用いて示す.
(i)
n=1 のとき, (1) より成り立つ.
(ii)
n=k のとき, 式1 が成り立つと仮定すると,
a_{k+1} =a_k(cos2^{k+1})
=bunsuu{sin2^{k+1}}{2^{k+1}sin1}(cos2^{k+1})
=bunsuu{sin2^{k+2}}{2^{k+2}sin1}
よって, n=k+1 のときも成り立つ.
以上から, 数学的帰納法により, 式1n=1,2,cdots,n で成り立つ.
解説
(*1)
倍角の公式より cos theta sin theta=bunsuu12sin2theta

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