2008年前期 九州大学 2

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3
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文系学部
放物線 C:y=x^2 上の点 P における法線とは, 点 P における C の接線と点 P で垂直に交わる直線である。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
(p,p^2) における C の法線の方程式を求めよ。
(2)
y 軸上の点 (0,a) を通る C の法線の本数を求めよ。
ヒント
(1)
y=f(x)x=p における法線の傾きは -bunsuu{1}{f'(p)}.
(2)
p が異なるとき法線も異なるから, p の個数を求める.
解答
(1)
y'=2x より, p ne0 のとき, 法線の方程式は,
y-p^2=-bunsuu{1}{2p}(x-p)
x+2py-2p^3-p=0
この方程式は p=0 のときもみたすから, 求める法線の方程式は,
x+2py-2p^3-p=0 \cdots\cdotseq1
(2)
式1 が点 (0,a) を通るとき,
2pa-2p^3-p=0
p{2p^2-(2a-1)}=0
p=0,p^2=bunsuu{2a-1}{2}
2a-1leqq0 のとき, p=0
2a-1>0 のとき, p=0,pm sqrt{bunsuu{2a-1}{2}}
p が異なるとき法線も異なるから, 求める法線の本数は
a leqq bunsuu12のとき,1本[6pt]a>bunsuu12のとき,3本

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