2008年前期 九州大学 3

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2
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文系学部
図のような五角形 ABCDE (角 A が直角である二等辺三角形 ABE と長方形 BCDE をあわせた図形)において, 辺 BC と辺 DE の長さは1, 辺 CD と線分 BE の長さは2とする。 線分 BE の中点を O とする。 また, 5枚のカードがあり, それぞれに A, B, C, D, E と書いてある。 カードをよくきって1枚引き, もとに戻す。この操作を n 回繰り返し, i 回目に引いたカードの文字を P_i とする。 たとえば, i 回目に B を引いたとすると, P_i=B である。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
bekutoru{OB}bekutoru{OC} の内積を求めよ。
(2)
bekutoru{OP_1}bekutoru{OP_2} の内積が1である確率を求めよ。
(3)
bekutoru{OC}+bekutoru{OD}bekutoru{OP_i} の内積を q_i とする。このとき, q_1q_2cdots q_n=0 となる確率を求めよ。
図1
ヒント
(1)
vnaiseki{OB}{OC}=absvec{OB}absvec{OC}cos kaku{BOC}
(2)
vnaiseki{OP_1}{OP_2}=1 となる (P_1,P_2) の組み合わせを数える.
(3)
bekutoru{OC}+bekutoru{OD}=-2bekutoru{OA}
解答
(1)
kaku{BOC}=45DEG であるから,
vnaiseki{OB}{OC} =absvec{OB}absvec{OC}cos45DEG
=1cdot sqrt{2}cdot bunsuu{sqrt2}{2}
=1
(2)
vnaiseki{OP_1}{OP_2}=0 となるのは,
(P_1,P_2)=(A,A),(B,B),(E,E),(B,C),(C,B),(D,E),(E,D)
の7通り.
(P_1,P_2) の取りうる組み合わせは 5times5=25 通り.
よって, 求める確率は bunsuu{7}{25}.
(3)
bekutoru{OC}+bekutoru{OD}=-2bekutoru{OA} であるから,
q_i=-2vnaiseki{OA}{OP}
q_1q_2cdots q_n=0 のとき, q_1, q_2, cdots, q_n の少なくとも1つが0であるから, bekutoru{OP_1}, bekutoru{OP_2}, cdots, bekutoru{OP_n} の少なくとも1つが bekutoru{OA} と直交する.
すなわち, P_1, P_2, cdots, P_n の少なくとも1つが B または E のいずれかである.
P_1, P_2, cdots, P_n が1つも B または E ではない確率は
(bunsuu35)^n
であるから, 求める確率は
1-(bunsuu35)^n

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