2008年前期 九州大学 4

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3
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文系学部
放物線 C:y=x^2-1a_1>1 をみたす実数 a_1 を考える。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
C 上の点 (a_1,a_1^2-1) における接線と x 軸との交点の x 座標を a_2 とするとき, a_2a_1 を用いて表せ。
(2)
(1) で求めた a_2 に対して, C 上の点 (a_2,a_2^2-1) における接線と x 軸との交点の x 座標を a_3 とする。 この操作を繰り返してできる数列を a_1,a_2,cdots,a_n,cdots とする。 このとき, すべての n に対して, a_n>1 を示せ。
(3)
b_n=bunsuu12(a_n-1) とおくとき, すべての n に対して, b_{n+1}<b_n^2 を示せ。
(4)
a_1=2 のとき, b_n<10^{-12} となる n の値を1つ求めよ。 ただし, 必要があれば, log_{10}2 を0.301として計算してよい。
ヒント
(1)
x=a_1 における接線が (a_2,0) を通る.
(2)
数学的帰納法を用いて示す.
(3)
b_n^2-b_{n+1}a_n を用いて表す.
(4)
(3) より, b_n<b_{n-1}^2<b_{n-2}^4<cdots<b_1^{2^{n-1}}
解答
(1)
y'=2x より, x=a_1 における接線の方程式は
y-(a_1^2-1)=2a_1(x-a_1)
y=2a_1x-a_1^2-1
これが (a_2,0) を通るので
0=2a_1a_2-a_1^2-1
a_1a_2=bunsuu{a_1^2+1}{2}
a_1>1 より,
a_2=bunsuu{a_1^2+1}{2a_1}
(2)
n についての数学的帰納法により a_n>1 を示す.
(i)
n=1 のとき, a_1>1 であるから成り立つ.
(ii)
n=k のとき成り立つと仮定すると a_k>1
(1) と同様に, a_{k+1}=bunsuu{a_k^2+1}{2a_k} であり,
a_{k+1}-1 =bunsuu{a_k^2+1}{2a_k}-1
=bunsuu{(a_k-1)^2}{2a_k}>0
であるから, a_{k+1}>1 となり, n=k+1 のときも成り立つ.
以上から, 数学的帰納法により全ての n に対して a_n>1 が成り立つ.
(3)
(2) より, a_n>1 であるから,
b_n^2-b_{n+1} =bunsuu14(a_n-1)^2-bunsuu12(a_{n+1}-1)
=bunsuu14(a_n-1)^2-bunsuu12bunsuu{(a_n-1)^2}{2a_n}
=bunsuu{a_n-1}{4a_n}(a_n-1)^2>0
ゆえに,
b_{n+1}<b_n^2
(4)
(3) より,
b_n<b_{n-1}^2<b_{n-2}^4<cdots<b_1^{2^{n-1}}=(bunsuu12)^{2^{n-1}} \cdots\cdotseq1
(bunsuu12)^{2^{n-1}}<10^{-12} のとき,
log_{10}(bunsuu12)^{2^{n-1}}<-12
-2^{n-1}log_{10}2<-12
2^{n-1}>bunsuu{12}{log_{10}2}=bunsuu{12}{0.301}=39.8cdots
より, n geqq7 である.
このとき, 式1 より, b_n<10^{-12} であるから, 求める n の1つは7.
別解
(2)
(ii)
相加相乗平均より,
a_{k+1} =bunsuu12(a_k+bunsuu{1}{a_k})
geqq bunsuu12(2sqrt{a_k bunsuu{1}{a_k}})=1
ただし, a_k=bunsuu{1}{a_k}Longleftrightarrow a_k=pm1 より, 等号は成り立たない.
よって,
a_{k+1}>1

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