2008年前期 九州大学 5

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3
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理系学部
f(x)=bunsuu{e^x}{e^x+1} とおく。ただし, e は自然対数の底とする。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
y=f(x) の増減, 凹凸, 漸近線を調べ, グラフをかけ。
(2)
f(x) の逆関数 f^{-1}(x) を求めよ。
(3)
dlim{n to infty}n{f^{-1}(bunsuu{1}{n+2})-f^{-1}(bunsuu{1}{n+1})} を求めよ。
ヒント
(1)
漸近線は dlim{x to infty}f(x), dlim{x to-infty}f(x) を求めると分かる.
(2)
y=f(x)x について解き, xy を入れ換える.
(3)
dlim{n to infty}(1+bunsuu{1}{n})^n=e
解答
(1)
f'(x)=bunsuu{e^x}{(e^x+1)^2}>0
f''(x)=-bunsuu{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}
dlim{x to infty}f(x)=1
dlim{x to-infty}f(x)=0
図1 よって, y=f(x) の増減は表のようになり, グラフは図のようになる.
x,(-infty),cdots,0,cdots,(+infty)f'(x),,+,,+,f''(x),,+,0,-,f(x),(0),nevarrow,,necarrow,(1)
(2)
y =bunsuu{e^x}{e^x+1}
e^x =bunsuu{y}{1-y}
x =log bunsuu{y}{1-y}
よって,
f^{-1}(x)=log bunsuu{x}{1-x}
(3)
dlim{n to infty}n{f^{-1}(bunsuu{1}{n+2})-f^{-1}(bunsuu{1}{n+1})}
=dlim{n to infty}n(log bunsuu{1}{n+1}-log bunsuu{1}{n})
=dlim{n to infty}-log(1+bunsuu{1}{n})^n
=-log e
=-1

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