2008年前期 九州大学 7

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3
Dept. :
理系学部
sankaku{OAB} において, 辺 AB 上に点 Q をとり, 直線 OQ 上に点 P をとる。 ただし, 点 P は点 Q に関して点 O と反対側にあるとする。 3つの三角形 sankaku{OAP}, sankaku{OBP}, sankaku{ABP} の面積をそれぞれ a, b, c とする。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
bekutoru{OQ}bekutoru{OA}, bekutoru{OB} および a, b を用いて表せ。
(2)
bekutoru{OP}bekutoru{OA}, bekutoru{OB} および a, b, c を用いて表せ。
(3)
3辺 OA, OB, AB の長さはそれぞれ3,5,6であるとする。 点 P を中心とし, 3直線 OA, OB, AB に接する円が存在するとき, bekutoru{OP}bekutoru{OA}bekutoru{OB} を用いて表せ。
ヒント
(1)
面積比から, AQ:QB を求める.
(2)
面積比から OP:OQ を求める.
(3)
a, b, c を円の半径 r で表す.
解答
(1)
sankaku{OAP}:sankaku{OBP}=a:b より, AQ:QB=a:b であるから,
bekutoru{OQ}=bunsuu{b}{a+b}bekutoru{OA}+bunsuu{a}{a+b}bekutoru{OB}
(2)
四角形 OAPB:sankaku{OAB}=a+b:a+b-c より, OP:OQ=a+b:a+b-c であるから,
bekutoru{OP} =bunsuu{a+b}{a+b-c}bekutoru{OQ}
=bunsuu{b}{a+b-c}bekutoru{OA}+bunsuu{a}{a+b-c}bekutoru{OB} \cdots\cdotseq1
(3)
図1題意の円の半径を r とすると,
a =bunsuu{r}{2}OA
=bunsuu32r
b =bunsuu{r}{2}OB
=bunsuu52r
c =bunsuu{r}{2}AB
=bunsuu32r
式1 より,
bekutoru{OP}=bunsuu12(5bekutoru{OA}+3bekutoru{OB})

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