2008年前期 九州大学 8

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4
Dept. :
理系学部
a>0 に対して, f(x)=a+log x (x>0), g(x)=sqrt{x-1} (x geqq1) とおく。 2曲線 y=f(x), y=g(x) が, ある点 P を共有し, その点で共通の接線 l を持つとする。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
a の値, 点 P の座標, および接線 l の方程式を求めよ。
(2)
2曲線は点 P 以外の共有点を持たないことを示せ。
(3)
2曲線と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
ヒント
(1)
(2)
解答
(1)
Px 座標を t (t>1) とおくと, 条件より
f(t)=g(t) \cdots\cdotseq1
f'(t)=g'(t) \cdots\cdotseq2
式2 より
bunsuu{1}{t}=bunsuu{1}{2sqrt{t-1}}
t=2 \cdots\cdotseq3
式1, 式3 より
a+log2=sqrt{2-1}
a=log bunsuu{e}{2}
接線 l の方程式は y=bunsuu12x
(2)
h(x)=f(x)-g(x) (x>1) とおくと,
h'(x) =bunsuu{1}{x}-bunsuu{1}{2sqrt{x-1}}
=-bunsuu{(x-2)^2}{2x sqrt{x-1}(2sqrt{x-1}+x)}leqq0
より, h(x) は単調減少であり, (1) より h(2)=0 であるから, h(x)=0 の解は x=2 のみである.
ゆえに, y=f(x)y=g(x) は点 P 以外の共有点をもたない.
(3)
図1y=f(x)x 軸の交点の x 座標は
log x+log bunsuu{e}{2}=0
x=bunsuu{2}{e}
であるから, 求める面積は
dint{frac{2}{e}}{2}(log x+log bunsuu{e}{2})dx-dint{1}{2}sqrt{x-1}dx
=teisekibun{x log x-x+x log bunsuu{e}{2}}{frac{2}{e}}{2}-teisekibun{bunsuu23(x-1)^{frac32}}{1}{2}
=bunsuu{2}{e}-bunsuu{2}{3}

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