2008年前期 九州大学 9

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4
Dept. :
理系学部
いくつかの半径3の円を, 半径2の円 Q に外接し, かつ, 互いに交わらないように配置する。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1)
半径3の円の1つを R とする。円 Q の中心を端点とし, 円 R に接する2本の半直線のなす角を theta とおく。 ただし, 0<theta<pi とする。 このとき, sin theta を求めよ。
(2)
bunsuu{pi}{3}<theta<bunsuu{pi}{2} を示せ。
(3)
配置できる半径3の円の最大個数を求めよ。
ヒント
(1)
sin theta=2sin bunsuu{theta}{2}cos bunsuu{theta}{2}
(2)
sin bunsuu{pi}{3}, sin theta, sin bunsuu{pi}{2} を比較する.
(3)
n theta leqq2pi をみたす最大の n を求める. cos bunsuu25picos theta を比較してみよう.
解答
(1)
図1Q, R の中心をそれぞれ A, B, 半直線の1つと R の接点を H とおく.
sin bunsuu{theta}{2} =bunsuu{BH}{AB}
=bunsuu35
cos bunsuu{theta}{2} =bunsuu{AH}{AB}
=bunsuu45
よって,
sin theta =2sin bunsuu{theta}{2}cos bunsuu{theta}{2}
=bunsuu{24}{25}
(2)
sin bunsuu{pi}{3}=bunsuu{sqrt3}{2}<sin theta=bunsuu{24}{25}<sin bunsuu{pi}{2}=1
であるから,
bunsuu{pi}{3}<theta<bunsuu{pi}{2}
(3)
n theta leqq2pi をみたす最大の n を求めればよい.
(2) より,
4theta<2pi \cdots\cdotseq1
ここで, alpha=bunsuu25pi とおくと,
sin3alpha=sin(2pi-2alpha)
3sin alpha-4sin^3alpha=-2sin alpha cos alpha
sin alpha(4cos^2+2cos alpha-1)=0
sin alpha ne0, cos alpha>0 より, cos alpha=bunsuu{-1+sqrt5}{4} であるから
cos theta=bunsuu{7}{25}<cos alpha=bunsuu{-1+sqrt5}{4}
よって,
alpha<theta
2pi<5theta \cdots\cdotseq2
式1, 式2 より,
4theta<2pi<5theta
ゆえに, 求める個数は 4

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